乘坐地铁1号线、地铁3号线和番67路公交车。根据查询百度地图得知，从东山口去番愚沙湾古镇可以通过乘坐地铁1号线、地铁3号线和番67路公交车前往，全程需要1小时21分钟。具体乘车路线：
1、首先东山口出发步行10米后在东山口站上车，乘坐地铁1号线（广州东站方向）2站后在体育西路站下车。
2、其次下车后站内换乘步行50米后在体育西路站上车，乘坐地铁3号线（番禺广场方向）9站后在市桥站（B口出）下车，下车后步行190米在百越广场西门(地铁市桥站)站上车。
3、最后乘坐番67路公交车15站后在沙湾古镇南门站下车，下车步行140米即可到达番愚沙湾古镇。